實變函數論

方波傅立葉級數的前四項。傅立葉級數是實分析的一項重要工具

實分析實數分析是處理實數及實函數的數學分析。專門實數函數數列的解析特性,包括實數數列的極限,實函數的微分積分、連續性,光滑性以及其他相關性質。

實分析常以基礎集合論,函數概念定義等等開始。

內容

實數的構造

有許多種將實數定義為有序域的方式。合成的作法會提供許多實數的公理,將實數變成完備有序域。在一般集合論的公理下,可以證明這些公理都是明確的,也就是說有一個公理的模型,任兩個模型都是同構的。這些模型中需要有一個有明確的定義,而大部份的模型都可以用實數為有序域時的基本性質來得到。

實數的有序性

實數有許多重要的特性是和數學中的定義有關,這些性質也是複數所沒有的。其中最重要的是,實數形成有序域,實數的有序滿足反對稱性、傳遞性及完全性,屬於全序關係,而且實數有最小上限屬性英語least upper bound property。實數中的偏序關係帶來了實變分析中許多重要的定理,例如單調收斂定理介值定理及中值定理。

在實變分析中這些定理只針對實數,不過許多的結果可以應用在其他的數學對象英語mathematical object。特別是許多泛函分析算子理論英語operator theory中的概念是來自實數中概念的擴展,這類的擴展包括里斯空間英語Riesz space正算子英語positive operator的理論。也有數學家考慮複數數列的實部及虛部,例如算子數列的逐點評估英語strong operator topology

序列

序列是一個定義域為可數全序集合的函數,多半會讓定義域是自然數或是所有整數[1]。例如,一個實數的序列為以下定義的映射 ,常會表示為 。若一序列會慢慢的接近一個極限(也就是存在  ),稱此序列為收斂,否則則稱此序列為發散

極限

極限是指函數序列在其輸入接近一定值時,其輸出數值所接近的特定定值[2]。極限是微積分學及廣義數學分析的基礎,連續函數導數積分也是利用極限來定義。

連續函數

函數的輸入及輸出值都是實數,可以表示成笛卡兒坐標系上的圖形。粗略來說,若函數圖形是一條連續未分割的曲線,其中沒有「洞」或是「斷點」,函數即為連續函數。

針對上述粗略的定義,在數學上有許多嚴謹的定義。這些定義彼此是等價的,因此會用最簡單而方便的定義來確認一個函數是否是連續,在以下的定義中

 

是一個定義在實數R以內子集的函數,子集I稱為函數f的定義域。子集I的一些可能選擇包括I=R(所有實數)、以下的開區間

 

閉區間

 

因此ab是實數。

一致連續是連續函數中,比連續函數更強的性質。若XY實數子集,函數f : X → Y為一致連續的條件是針對所有大於0的實數ε,存在一實數δ > 0,使得針對所有的xy ∈ X, |x − y| < δ即表示 implies |f(x) − f(y)| < ε.

一致連續和每一點連續的差異在一致連續時,δ值只和ε值有關,和該值在定義域中的位置無關。一般情況下,連續不意味著均勻連續。

級數

給定一無窮序列  ,即可定義相關的級數為 ,有時會簡稱為 。級數的部份和  。級數 收斂的條件是部份和的數列 收斂,否則級數即稱為發散。收斂級數的和 定義為 .

等比數列的和就是一個收斂級數,也是芝諾悖論的基礎:

 .

以下的調和級數即為發散級數:

 .

(此處 不是嚴謹的表示方式,只是表示部份和會無限制的成長)

微分

函數fa位置的導數為以下的函數極限

 

若導數在所有位置都存在,稱函數為可微分,可以再繼續計算函數的高階導數。

也可以將函數依其微分分類來區分。分類C0包括所有連續函數,分類C1包括所有導數連續的可微函數,這類函數稱為「連續可微」。分類C1是指其導數在分類C1中的函數。一般來說,分類Ck可以用遞歸方式定義,定義方式是宣告分類C0是所有的連續函數,而分類Ckk為正整數)是所有可微,而且其導數為Ck−1的函數。而分類Ck包括在分類Ck−1中,對所有的正整數k都成立。分類C是所有Ck的交集,其中k為所有的非負整數。Cω包括所有的解析函數,是分類C的嚴格子集。

積分

黎曼積分

黎曼積分定義函數的黎曼和英語Riemann sum,對應為一個區間內的標記分區(tagged partitions)。令[a,b]為實數下的封閉區間,則在區間[a,b]內的標記分區為有限數列

 

將區間[a,b]分隔為n個下標為i子區間[xi−1, xi],每一個用不同的點ti ∈ [xi−1, xi]來標記。函數f對應標記分區的黎曼和定義為

 

則和的每一項都是長方形的面積,其高為函數在給定子區間內,標示點的數值,寬和子區間的寬相等。令Δi = xixi−1為子區間i的寬,則標記分區的網格為長子區間中最寬區間的寬度 maxi=1...n Δi。函數f在區間[a,b]內的黎曼積分等於S若:

對所有ε > 0,存在δ > 0使得,對於任何有標示,且網格小於δ的區間[a,b],以下的式子成立
 

若選定的標示都是每個區間內函數的最大值(或最小值),黎曼積分就會成為上(或下)達布和,因此黎曼積分和達布積分有緊密的關係。

勒貝格積分

勒貝格積分是一種積分概念,可以將積分延伸到更大範圍的函數,同時也拓展函數的定義域

分布

分布或是廣義函數是一種將函數擴展後產生的概念。透過分布可以針對一些在傳統定義下其導數不存在的函數進行微分(例如單位階躍函數)。而任何局部可積函數都一定會有廣義函數下的導數。

和複變分析的關係

實變函數論是數學分析的一部份,探討像數列及其極限、連續性、函數的導數積分。實變分析專注在實數,多半會包括正負無窮大以形成擴展實軸。實變分析和研究複數對應性質的複分析緊密相關。在複分析中,很自然的會對全純函數定義導數,全純函數有許多有用的性質,包括多次可微、可以用冪級數表示,而且滿足柯西積分公式

實變分析中也很自然的去考慮可微、光滑函數調和函數,這些也常常用到,不過仍少了一些複變中全純函數中有力的性質。而且代數基本定理若以複數表示時會比較簡單。

複變中解析函數理論的技巧也可以用在實變分析,例如應用留數定理來計算實變函數的定積分。

重要結果

實分析的重要結果包括波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理海涅-博雷爾定理介值定理、中值定理、微積分基本定理單調收斂定理

實分析的許多概念可以擴展到廣義的度量空間,包括巴拿赫空間希爾伯特空間

相關條目

  • ^ Gaughan, Edward. 1.1 Sequences and Convergence. Introduction to Analysis. AMS (2009). ISBN 0-8218-4787-2. 
  • ^ Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals 6th. Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-495-01166-5.